NumPy 선형 대수

　 　 NumPy 线性代数的实例

numpy.dot()

numpy.dot() 对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积)；对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积；对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和： dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。

　　　numpy.dot(a,　b,　out=None)

参数说明：

a : ndarray 数组 b : ndarray 数组 out : ndarray, 可选，用来保存dot()的计算结果

　import　numpy.matlib
　import numpy as np
　a = np.array([[1,2],[3,4]]
　b = np.array([[11,12],[13,14]]
　print(np.dot(a,b))

출력 결과는:

　[[37　40]　
　[85　92]]

计算式为：

[[1*11+2*13,　1*12+2*14],[3*11+4*13,　3*12+4*14]]

numpy.vdot()

numpy.vdot() 函数是两个向量的点积。 如果第一个参数是复数，那么它的共轭复数会用于计算。 如果参数是多维数组，它会被展开。

　import　numpy.matlib
　import numpy as np
　a = np.array([[1,2],[3,4]]　
　b = np.array([[11,12],[13,14]]　
　　
　#　vdot　将数组展开计算内积
　print　(np.vdot(a,b))

출력 결과는:

　130

计算式为：

1*11　+　2*12　+　3*13　+　4*14　=　130

numpy.inner()

numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积。

　import　numpy.matlib
　print　(np.inner(np.array([1,2,31,0]])
　#　 tương đương với　1*0+2*1+3*0

출력 결과는:

　　　2

　import numpy as np　
　a = np.array([[1,2],　[3,4]]　
　　
　print (' 배열 a：')
　print (a)
　b = np.array([[11,　12],　[13,　14]]　
　　
　print　('배열 b:')
　print (b)
　　
　print　('내적:')
　print　(np.inner(a,b))

출력 결과는:

　배열 a：
　[[1　2]
　　[3　4]]
　배열 b:
　[[11　12]
　　[13　14]]
　내적:
　[[35　41]
　　[81　95]]
　배열 a：
　[[1　2]
　　[3　4]]
　배열 b:
　[[11　12]
　　[13　14]]
　내적:
　[[35　41]
　　[81　95]]

내적 계산식은 다음과 같습니다:

　1*11+2*12,　1*13+2*14　
　3*11+4*12,　3*13+4*14

numpy.matmul

numpy.matmul 함수는 두 배열의 행렬 곱을 반환합니다. 그것은 일반적인 이차 배열 곱을 반환하지만, 매개변수 중 하나의 차원이2그것을 마지막 두 인덱스의 행렬의 스택으로 간주하고, 해당 브로드캐스트를 수행합니다.

반면에, 매개변수 중 하나가 일차 배열인 경우, 그 차원에 추가하여 1 그것을 행렬로 만들어 곱셈 후 제거합니다.

이차 배열에 대해, 그것은 행렬 곱입니다:

　import　numpy.matlib　
　import numpy as np　
　　
　a　=　[[1,0],[0,1]]　
　b　=　[[4,1],[2,2]]　
　print　(np.matmul(a,b))

출력 결과는:

　　　[[4　1]　
　　[2　2]]

이차와 일차 연산:

　import　numpy.matlib　
　import numpy as np　
　　
　a　=　[[1,0],[0,1]]　
　b　=　[1,2]　
　print　(np.matmul(a,b))
　print　(np.matmul(b,a))

출력 결과는:

　[1　2]　
　[1　2]

차원이 두 이상의 배열 :

　import　numpy.matlib　
　import numpy as np　
　　
　a　=　np.arange(8).reshape(2,2,2)　
　b　=　np.arange(4).reshape(2,2)　
　print　(np.matmul(a,b))

출력 결과는:

　　　[[[　2　3]
　　　[　6　11]]
　　[[10　19]
　　　[14　27]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det() 함수는 입력 행렬의 행렬식을 계산합니다.

행렬식은 선형대수학에서 매우 유용한 값입니다. 그것은 정방행렬의 대각 요소로부터 계산됩니다. numpy.linalg.det() 함수는 입력 행렬의 행렬식을 계산합니다. 2×2 행렬, 그것은 왼쪽 상단과 오른쪽 하단 요소의 곱과 다른 두 요소의 곱의 차입니다.

다시 말해, 행렬 [[a, b], [c, d]]에 대해 행렬식 계산은 ad입니다.-bc. 큰 정방행렬은 2×2 행렬의 조합.

import numpy as np
a = np.array([[1,2],　[3,4]]　
　　
print　(np.linalg.det(a))

출력 결과는:

-2.0

　import numpy as np
　　
　b = np.array([[6,1,1],　[4,　-2,　5],　[2,8,7]]　
　print (b)
　print　(np.linalg.det(b))
　print　(6*(-2*7　-　5*8)　-　1*(4*7　-　5*2)　+　1*(4*8　-　-2*2))

출력 결과는:

　　　[[　6　1　1]
　　[　4　-2　5]
　　[　2　8　7]]
　-306.0
　-306

numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve() 함수는 행렬 형태의 선형 방정식의 해를 제공합니다.

다음과 같은 선형 방정식을 고려해 보겠습니다:

　x　+　y　+　z　=　6
　2y　+　5z　=　-4
　2x　+　5y　-　z　=　27

마트릭스로 표현할 수 있습니다:

만약 행렬이 A, X, B로 구성되는 경우, 방정식은 다음과 같이 변합니다:

　AX　=　B
　또는
　X　=　A^(-1)B

numpy.linalg.inv()

numpy.linalg.inv() 함수는 행렬의 곱의 역행렬을 계산합니다.

역행렬(inverse matrix)A는 수역 위의 n차 행렬로, 같은 수역에서 다른 n차 행렬 B가 존재하여 AB=BA=E가 되는 경우, B는 A의 역행렬로, A는 역행렬이 되는 행렬이라고 합니다. 주의: E는 유닛 행렬입니다.

　import numpy as np　
　　
　x = np.array([[1,2],[3,4]]　
　y = np.linalg.inv(x)　
　print (x)
　print (y)
　print (np.dot(x, y))

출력 결과는:

　[[1　2]
　　[3　4]]
　[[-2.　1.　]
　　[　1.5　-0.5]]
　[[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
　　[8.8817842e-16　1.0000000e+00]]

이제 행렬 A의 역 행렬을 생성합니다:

　import numpy as np　
　　
　a = np.array([[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]]　
　　
　print (' 배열 a：')
　print (a)
　ainv = np.linalg.inv(a)　
　　
　print ('a의 역: ')
　print (ainv)
　　
　print ('행렬 b：')
　b = np.array([[6],[-4],[27]]　
　print (b)
　　
　print ('계산: A^(-1)B：)
　x = np.linalg.solve(a, b)　
　print (x)
　# 이는 선형 방향 x의 값입니다　5, y =　3, z =　-2　의 해

출력 결과는:

　배열 a：
　[[　1　1　1]
　　[ 0　2　5]
　　[　2　5　-1]]
　a의 역:
　[[　1.28571429　-0.28571429　-0.14285714]
　　[-0.47619048　0.14285714　0.23809524]
　　[ 0.19047619　0.14285714　-0.0952381　]]
　행렬 b：
　[[　6]
　　[-4]
　　[27]]
　계산: A^(-1)B：
　[[　5.]
　　[　3.]
　　[-2.]]

　　　x = np.dot(ainv, b)