MATLAB 미분

MATLAB은 제공합니다diff기호 미분을 계산하는 명령어. 가장 간단한 형태로, diff 명령어에 기울임을 받는 함수를 전달합니다.

예를 들어, 함수의 미분 f(t)를 계산해 보겠습니다= 3t ² + 2t ^-2

온라인 예제

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms　t
f　=　3*t^2　+　2*t^(-2);
diff(f)

위 코드를 컴파일하고 실행하면 다음과 같은 결과가 생성됩니다-

ans　=
6*t　-　4/t^3

이전 계산의 Octave 등가식은 다음과 같습니다-

pkg　load　symbolic
symbols
t　=　sym("t");
f　=　3*t^2　+　2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octave 코드를 실행하고 다음 결과를 반환합니다-

ans　=
　　　-(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

기본 규칙의 검증

이제 각종 방정식이나 미분에 사용되는 규칙을 간단히 설명하고 이를 검증해 보겠습니다. 이를 위해, 1차 미분은 f'(x)를, 2차 미분은 f“(x)”를 씁니다.

다음은 구분 규칙을 구분합니다-

규칙1

다양한 함수 f와 g 및 실수 a와 b에 대해 이 함수의 미분은-

h(x) = af(x) + bg(x) x에 의해-

h'(x) = af'(x) + bg'(x)

규칙 두

sum및subtraction규칙은, f와 g가 두 함수라면, f’와 g’는 각각의 미분입니다, 즉,

（f + g)' = f' + g'

(f - g)' = f' - g'

규칙 세

product규칙은, f와 g가 두 함수라면, f'와 g'는 각각의 미분입니다, 즉,

(f.g)' = f'.g + g'.f

규칙 네

quotient규칙은, f와 g가 두 함수라면, f'와 g'는 각각의 미분입니다, 즉,

(f/g)' = (f'.g - g'.f)/g²

규칙 다섯

polynomial또는 기본의 범위 규칙은, 만약, 그렇다면y = f(x) = xⁿf' = n. x^(n-1)

이 규칙의 직접적인 결과는, 어떤 상수의 미분은 0입니다, 즉, 만약y = k، 어떤 상수라면

f' = 0

규칙 여섯

chain규칙은, x에 비해 함수의 함수의 미분은 다음과 같습니다:h(x) = f(g(x))

h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

예제

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms　x
syms　t
f　=　(x　+　2)*(x^2　+　3)
der1　=　diff(f)
f　=　(t^2　+　3)*(sqrt(t)　+　t^3)
der2　=　diff(f)
f　=　(x^2　-　2*x　+　1)*(3*x^3　-　5*x^2　+　2)
der3　=　diff(f)
f　=　(2*x^2　+　3*x)/(x^3　+　1)
der4　=　diff(f)
f　=　(x^2　+　1))^17
der5　=　diff(f)
f　=　(t^3　+　3*　t^2　+　5*t　-9))^(-6)
der6　=　diff(f)

运行文件时，MATLAB显示以下结果-

f　=
　　　(x^2　+　3)*(x　+　2)
　
　　　der1　=
　　　2*x*(x　+　2)　+　x^2　+　3
　　
f　=
　　　(t^(1/2)　+　t^3)*(t^2　+　3)
　
　　　der2　=
　　　(t^2　+　3)*(3*t^2　+　1/(2*t^(1/2)))　+　2*t*(t^(1/2)　+　t^3)
　　
f　=
　　　(x^2　-　2*x　+　1)*(3*x^3　-　5*x^2　+　2)
　　
der3　=
　　　(2*x　-　2)*(3*x^3　-　5*x^2　+　2)　-　(-　9*x^2　+　10*x)*(x^2　-　2*x　+　1)
　
f　=
　　　(2*x^2　+　3*x)/(x^3　+　1)
　　
der4　=
　　　(4*x　+　3)/(x^3　+　1)　-　(3*x^2*(2*x^2　+　3*x))/(x^3　+　1))^2
　　
f　=
　　　(x^2　+　1))^17
　　
der5　=
　　　34*x*(x^2　+　1))^16
　　
f　=
　　　1/(t^3　+　3*t^2　+　5*t　-　9))^6
　　
der6　=
　　　-(6*(3*t^2　+　6*t　+　5))/(t^3　+　3*t^2　+　5*t　-　9))^7

이전 계산의 Octave 등가식은 다음과 같습니다-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
t　=　sym("t");
f　=　(x　+　2)*(x^2　+　3)　
der1　=　differentiate(f,x)　
f　=　(t^2　+　3)*(t^(1/2)　+　t^3)　
der2　=　differentiate(f,t)　
f　=　(x^2　-　2*x　+　1)*(3*x^3　-　5*x^2　+　2)　
der3　=　differentiate(f,x)　
f　=　(2*x^2　+　3*x)/(x^3　+　1)　
der4　=　differentiate(f,x)　
f　=　(x^2　+　1))^17　
der5　=　differentiate(f,x)　
f　=　(t^3　+　3*　t^2　+　5*t　-9))^(-6)　
der6　=　differentiate(f,t)

Octave 코드를 실행하고 다음 결과를 반환합니다-

f　=
(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1　=
3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f　=
(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2　=
(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f　=
(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3　=
(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f　=
(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4　=
(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f　=
(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5　=
(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f　=
(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6　=
-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

지수, 대수와 삼각 함수의 미분

아래 표는 일반적인 지수, 대수와 삼각 함수의 미분을 제공합니다-

예제

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms　x
y = exp(x)
diff(y)
y = x^9
diff(y)
y = sin(x)
diff(y)
y = tan(x)
diff(y)
y = cos(x)
diff(y)
y = log(x)
diff(y)
y = log10(x)
diff(y)
y = sin(x)^2
diff(y)
y = cos(3*x^2　+　2*x　+　1)
diff(y)
y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

运行文件时，MATLAB显示以下结果-

y　=
　　　exp(x)
　　　ans　=
　　　exp(x)
y　=
　　　x^9
　　　ans　=
　　　9*x^8
　　
y　=
　　　sin(x)
　　　ans　=
　　　cos(x)
　　
y　=
　　　tan(x)
　　　ans　=
　　　tan(x)^2　+　1
　
y　=
　　　cos(x)
　　　ans　=
　　　-sin(x)
　　
y　=
　　　log(x)
　　　ans　=
　　　1/x
　　
y　=
　　　log(x)/log(10)
　　　ans　=
　　　1/(x*log(10))
　
y　=
　　　sin(x)^2
　　　ans　=
　　　2*cos(x)*sin(x)
　
y　=
　　　cos(3*x^2　+　2*x　+　1)
　　　ans　=
　　　-sin(3*x^2　+　2*x　+　1)*(6*x　+　2)
　　
y　=
　　　exp(x)/sin(x)
　　　ans　=
　　　exp(x)/sin(x)　-　(exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

이전 계산의 Octave 등가식은 다음과 같습니다-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)
y = x^9
differentiate(y,x)
y = Sin(x)
differentiate(y,x)
y = Tan(x)
differentiate(y,x)
y = Cos(x)
differentiate(y,x)
y = Log(x)
differentiate(y,x)
% symbolic 包不支持此功能
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)
y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)
y = Cos(3*x^2　+　2*x　+　1)
differentiate(y,x)
y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave 코드를 실행하고 다음 결과를 반환합니다-

y　=
exp(x)
ans　=
exp(x)
y　=
x^(9.0)
ans　=
(9.0)*x^(8.0)
y　=
sin(x)
ans　=
cos(x)
y　=
tan(x)
ans　=
1+tan(x)^2
y　=
cos(x)
ans　=
-sin(x)
y　=
log(x)
ans　=
x^(-1)
y　=
sin(x)^(2.0)
ans　=
(2.0)*sin(x)*cos(x)
y　=
cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans　=
-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y　=
sin(x)^(-1)*exp(x)
ans　=
sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

计算高阶导数

为了计算函数 f 的高阶导数，我们使用语法diff(f,n)。

让我们计算函数 y = f(x) = x 的二阶导数.e ^-3x

f = x*exp(-3*x);
diff(f,　2)

MATLAB 코드 실행하고 다음 결과를 반환-

ans　=
9*x*exp(-3*x)　-　6*exp(-3*x)

이전 계산의 Octave 등가식은 다음과 같습니다-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x,　2)

Octave 코드를 실행하고 다음 결과를 반환합니다-

ans　=
(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

예제

在这个实例中，让我们解决一个问题。给定一个功能。我们将不得不找出方程是否成立。y = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x)f" + f = -5cos(2x)

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms　x
y　=　3*sin(x)+7*cos(5*x);          %定义函数
lhs = diff(y,2)+y;          %评估方程的 lhs
rhs =　-5*cos(2*x);          %方程的 rhs
if(isequal(lhs,rhs))
　　　disp('네, 방정식이 성립됩니다');
else
　　　disp('아니요, 방정식이 성립되지 않습니다');
end
disp('LHS의 값은:'),　disp(lhs);

运行文件时，它显示以下结果-

아니요, 방정식이 성립되지 않습니다
LHS의 값은:　
-168*cos(5*x)

이전 계산의 Octave 등가식은 다음과 같습니다-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
y　=　3*Sin(x)+7*Cos(5*x);          %定义函数
lhs = differentiate(y, x,　2)　+　y;          %计算方程 lhs
rhs =　-5*Cos(2*x);          %方程式 rhs
if(lhs == rhs)
　　　disp('네, 방정식이 성립됩니다');
else
　　　disp('아니요, 방정식이 성립되지 않습니다');
end
disp('LHS의 값은:'),　disp(lhs);

Octave 코드를 실행하고 다음 결과를 반환합니다-

아니요, 방정식이 성립되지 않습니다
LHS의 값은:　
-(168.0)*cos((5.0)*x)

곡선의 최대값과 최소값을 구합니다

그래프의 지역 최대값과 최소값을 검색하려면, 기본적으로 함수 그래프에서 특정 위치 또는 상수 변수 값의 특정 범위에서 가장 높은 점이나 가장 낮은 점을 찾는 것입니다

함수 y = f(x)에 대해 그래프에서 기울기가 0인 점은stationary points（정점/의미는 경계점）。다시 말해 고정点是 f'(x)= 0입니다

우리가 미분하는 함수의 평정점을 찾으려면, 미분을 0으로 설정하고 방정식을 풀어야 합니다

예제

우리는 함수의 고정점 f(x)를 찾기 위해 고려해야 합니다 2x ³ + 3x ² − 12x + 17

다음 단계를 따라주세요-

먼저 함수에 접근하여 그 그래프를 그려보겠습니다

syms　x
y　=　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;　　　%define　function
ezplot(y)

MATLAB 코드를 실행하고 다음 그래프를 반환합니다-

이전 예제의 Octave 등가 코드는 다음과 같습니다-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym('x');
y　=　inline("2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17");
ezplot(y)
print　-deps　graph.eps

우리의 목표는 그래프에서 일부 지역 최대값과 최소값을 찾는 것입니다, 따라서 그래프에서 구간[-2，2]의 지역 최대값과 최소값을 계산합니다

syms　x
y　=　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;　　　%　defining　the　function
ezplot(y,　[-2,　2])

MATLAB 코드를 실행하고 다음 그래프를 반환합니다-

이전 예제의 Octave 등가 코드는 다음과 같습니다-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym('x');
y　=　inline("2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17");
ezplot(y,　[-2,　2])
print　-deps　graph.eps

다음으로, 미분을 계산해 보겠습니다

g　=　diff(y)

MATLAB 코드 실행하고 다음 결과를 반환-

g　=
　　　6*x^2　+　6*x　-　12

이것은 이전 계산의 주파수 대역입니다-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
y　=　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;
g　=　differentiate(y,x)

Octave 코드를 실행하고 다음 결과를 반환합니다-

g　=
　　　-12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

우리는 미분 함수 g를 풀어서 그가 0이 되는 값을 얻습니다

s　=　solve(g)

MATLAB 코드 실행하고 다음 결과를 반환-

s　=
　　　1
　　　-2

이전 계산의 Octave 등가식은 다음과 같습니다-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
y　=　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;
g　=　differentiate(y,x)
roots([6,　6,　-12])

Octave 코드를 실행하고 다음 결과를 반환합니다-

g　=
-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans　=
　　-2
　　　1

이것은 우리의 그래프와 일치하므로, 경계점 x = 1,-2함수 f를 계산하기 위해 사용합니다

subs(y,　1),　subs(y,　-2)

MATLAB 코드 실행하고 다음 결과를 반환-

ans　=
　　　10
ans　=
　　　37

이전 계산의 Octave 등가식은 다음과 같습니다-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
y　=　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;
g　=　differentiate(y,x)
roots([6,　6,　-12])
subs(y,　x,　1),　subs(y,　x,　-2)

ans　=
　　　10.0
ans　=
　　　37.0-4.6734207789940138748E-18*I

따라서, 함수의 최소값과 최대값 f(x)는 = 2x ³ + 3x ² − 12x + 17，[-2,2]区间中为10및37。

미분 방정식을 풀기

MATLAB은 제공합니다dsolve미분 방정식을 기호로 풀기 위한 명령어입니다。

dsolve단일 방정식 해를 찾는 명령어의 가장 기본적인 형식은

dsolve('eqn')

그 중eqn는 방정식을 입력하는 텍스트 문자열입니다。

그룹 임의 상수를 포함한 기호 해를 반환하며, MATLAB은 C로 표시합니다1，C2과 같습니다。

제약 조건과 경계 조건을, 등호 뒤의 콤마로 구분된 목록으로 지정할 수 있습니다-

dsolve('eqn','cond1',　'cond2',…)

dsolve 명령어를 사용하기 위해, 미분은 D로 표시됩니다. 예를 들어, f'(t)= -2 * f +이와 같은 방정식 cost(t)는 입력됩니다-

'Df = -2*f + cos(t)'

고차 미분은 D 뒤의 미분 순서로 표시됩니다。

예를 들어, 방정식 f“(x)+ 2f'(x)= 5sin3x는 입력되어야 합니다-

'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

쉽게 한계 미분 방정식의 예제를 들어보겠습니다：y'= 5y。

s　=　dsolve('Dy　=　5*y')

MATLAB 코드 실행하고 다음 결과를 반환-

s　=
　　　C2*exp(5*t)

이차 미분 방정식의 다른 예제를 들어보겠습니다：y“-y = 0，y= -1，y'= 2。

dsolve('D2y　-　y　=　0','y(0)　=　-1','Dy(0)　=　2)

MATLAB 코드 실행하고 다음 결과를 반환-

ans　=
　　　exp(t)/2　-　(3*exp(-t))/2